Что называется электрической емкостью уединенного проводника. Электроемкость уединенного проводника

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вы­текает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлек­трической проницаемости диэлектрика, за­полняющего пространство между обк­ладками. Поэтому применение в качест­ве прослойки сегнетоэлектриков значи­тельно увеличивает емкость конденсато­ров.

Конденсаторы характеризуются про­бивным напряжением - разностью потен­циалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой - элек­трический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств ди­электрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирова­ния ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом использу­ется их параллельное и последовательное соединение.

1. Параллельное соединение конденса­торов (рис. 144). У параллельно соединен­ных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j А -j B . Если емкости отдельных конденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n , то, согласно (94.1), их заряды равны

Q 1 =C 1 (j A -j B),

Q 2 =C 2 (j A -j B),

Q n =С n (j A -j B), а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении кон­денсаторов она равна сумме емкостей от­дельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение кон­денсаторов (рис. 145). У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых кон­денсаторов

С другой стороны,

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, об­ратные емкостям. Таким образом, при по­следовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в ба­тарее.

Рассмотрим уединенный проводник,т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенци­ал, согласно, прямо пропорциона­лен заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные по­тенциалы. Поэтому для уединенного про­водника можно записать

Величину

называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Ем­кость уединенного проводника определяет­ся зарядом, сообщение которого провод­нику изменяет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от мате­риала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциа­ла. Сказанное не противоречит формуле, так как она лишь показывает, что емкость уединенного проводника прямо пропорциональна его заряду и обратно пропорциональна потенциалу.

Единица электроемкости - фарад (Ф): 1Ф-емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяет­ся на IB при сообщении ему наряда в 1 Кл.

Согласно, потенциал уединенно­го шара радиуса R, находящегося в одно­родной среде с диэлектрической проницае­мостью ε, равен

Используя формулы, получим что емкость шара

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обла­дал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=C/(4π ) 9- 10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (элек­троемкость Земли С 0,7мФ). Следова­тельно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются доль­ные единицы - миллифарад (мФ), микро­фарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофа-рад (пФ). Из формулы вытекает также, что единица электрической посто­янной фарад на метр (Ф/м)

Конденсаторы

Для того чтобы про­водник обладал большой емкостью, он дол­жен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых раз­мерах и небольших относительно окружа­ющих тел потенциалах накапливать зна­чительные по величине заряды, иными сло­вами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденса­торов.

Конденсатор состоит из двух провод­ников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэ­тому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: 1)две плоские пластины; 2) два коакси­альных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Под емкостью конденсатора по­нимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в кон­денсаторе, к разности потенциалов( - ) между его обкладками:

24. Соединение конденсаторов.

При параллельном соединении конденсаторов заряд батареи равен q=q1+q2, aUодинаково и равно разности потенциалов. Электроемкость батареи (С) равна С=С1+С2, при nконденсаторах С=сумме всех электроемкостей.

При последовательном соединении конденсаторов с электроемкостями С1 и С2 общий заряд батареи равен заряду каждого конденсатора (q=q1=q2). Общее Uравно сумме напряжений на отдельных конденсаторах: U=U1+U2. Электроемкость батареи двух последовательныхконденсаторов: 1\С=1\С1+1\С2 или С=С1С2/(С1+С2). При соединении nконденсаторов С=

25. Энергия системы зарядов. Энергия уединенного заряженного проводника.

электростатические силы взаимодействия консервативны; значит, система зарядов обладает потенциальной энергией.

W1=Q1*ϕ12; W2=Q2*ϕ21

где φ 12 и φ 21 - соответственно потенциалы, которые создаются зарядом Q 2 в точке нахождения заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 . Согласно,
и
поэтому W 1 = W 2 = W и

Добавляя к нашей системе из двух зарядов последовательно заряды Q 3 , Q 4 , ... , можно доказать, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(1)
где φ i - потенциал, который создается в точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i-го.

Энергия уединенного заряженного проводника:

Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна
-элементарная работа сил электрического поля заряженного проводника">
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу

(2)
Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:
(3)
Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ - потенциал проводника, найдем

где Q=∑Q i - заряд проводника.

26. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электростатического поля.

Конденсатор состоит из заряженных проводников поэтому обладает энергией, которая из формулы равна

где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Δφ - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотримуединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других провод­ников, тел и зарядов. Его потенциал, согласн прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряжен­ными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

(93.1)

называют электроемкостью (или просто емкостью ) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изме­няет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного провод­ника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однород­ной среде с диэлектрической проницаемостью e, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

(93.2)

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус R=C/ (4pe 0)»9×10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С» 0,7 мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной e 0 - фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Конденсаторы

Для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, об­ладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили названиеконденсаторов.

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенци­ал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми заря­дами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся наплоские, цилиндрические и сферические .

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начина­ются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, воз­никающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными заря­дами. Подемкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отноше­нию заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j 1 - j 2) между его обкладками:

(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

(94.2)

где e - диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=sS, с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

(94.3)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиаль­ных цилиндров с радиусами r 1 и r 2 (r 2 > r 1), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью t =Q/l (l- длина об­кладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

(94.5)

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 (r 2 > r 1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

Если d=r 2 - r 1 <<r 1 , то r 2 » r 1 » r и C= 4pe 0 er 2 /d. Так как 4pr 2 -площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического а плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с их радиусами в формуле (94.5) ln (r 2 /r 1) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением - разностью потенциа­лов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой - электричес­кий разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.

1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j A – j B . Если емкости отдельных конденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n , то, согласно (94.1), их заряды равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдель­ных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145). У последовательно соеди­ненных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенци­алов на зажимах батареи

Возьмем небольшой металлический полый шар и наденем его на электрометр (рис. 66). Пробным шариком начнем равными порциями q переносить заряды с шарика электрофорной машины на шар, касаясь заряженным шариком внутренней поверхности шара. Замечаем, что по мере увеличения заряда на шаре увеличивается и потенциал последнего относительно Земли. Более точные исследования показали, что потенциал проводника любой формы прямо пропорционален величине его заряда. Другими словами, если заряд проводника будет q, 2q, 3q, ..., nq , то его потенциал соответственно будет φ, 2φ, 3φ, ..., nφ . Отношение заряда проводника к его потенциалу для данного проводника есть величина постоянная:

Если взять подобное отношение для проводника иного размера (см. рис. 66), то оно также будет постоянным, но с другим числовым значением. Величину, определяемую этим отношением, назвали электроемкостью проводника. Электроемкость проводника

Скалярная величина, характеризующая свойство проводника удерживать электрический заряд и измеряемая зарядом, который повышает потенциал проводника на единицу, называется электроемкостью. Электроемкость - величина скалярная. Если один проводник имеет электроемкость в десять раз большую, чем другой, то, как видно из формулы электроемкости, чтобы их зарядить до одного и того же потенциала φ, надо, чтобы первый проводник имел заряд в десять раз больший, чем второй. Из сказанного следует, что электроемкость характеризует свойство проводников накапливать больший или меньший заряд при условии равенства их потенциалов.

От чего зависит электроемкость уединенного проводника? Чтобы выяснить это, возьмем два разных по величине металлических полых шара, надетых на электрометры. При помощи пробного шарика зарядим шары так, чтобы величины зарядов q были одинаковы. Видим, что при этом потенциалы шаров не одинаковы. Шар с меньшим радиусом зарядился до большего потенциала φ 1 , чем шар с большим радиусом (его потенциал φ 2). Так как заряды шаров одинаковой величины q = C 1 φ 1 и q = С 2 φ 2 , а φ 1 >φ 2 , то С 2 >С 1 . Значит электроемкость уединенного проводника зависит от величины его поверхности: чем больше поверхность проводника, тем больше его электроемкость. Такая зависимость объясняется тем, что заряжается только внешняя поверхность проводника. Электроемкость проводника не зависит от его материала.

Установим единицу измерения электроемкости проводника в системе СИ. Для этого в формулу электроемкости подставим значения q = 1 к и φ = 1 в:

За единицу электроемкости - фарада - принята электроемкость такого проводника, для повышения потенциала которого на 1 в нужно увеличить его заряд на 1 к. Электроемкость в 1 ф очень велика. Так, электроемкость Земли равна 1 / 1400 ф, поэтому на практике пользуются единицами, составляющими доли фарады: миллионной долей фарады - микрофарадой (мкф) и миллионной долей микрофарады - пикофарадой (пф) :

1 ф = 10 6 мкф 1 мкф = 10 -6 ф 1 пф = 10 -12 ф

1 ф = 10 12 пф 1 мкф = 10 6 пф 1 пф = 10 -6 мкф.

Задача 20. Имеются два положительно заряженных тела, первое имеет электроемкость 10 пф и заряд 10 -8 к , второе - электроемкость 20 пф и заряд 2*10 -9 к . Что произойдет, если эти тела соединить проводником? Найти окончательное распределение зарядов между телами.

соединения. Потенциал первого тела Потенциал второго тела Так как φ 1 >φ 2 , то заряды перейдут с тела с большим потенциалом на тело с меньшим потенциалом.

Уединенным называют проводник, расположенный настолько далеко от других тел, что влиянием зарядов и полей других тел можно пренебречь. При сообщении такому проводнику некоторого заряда он расположится на его поверхности некоторым образом так, чтобы выполнялись условия равновесия. В окружающем пространстве заряд проводника создаст электрическое поле. Если от поверхности проводника переместить на бесконечно малое расстояние бесконечно малый (не влияющий на заряд проводника) заряд , то силы поля совершат некоторую работу . Отношение дает потенциал проводника, который он приобрел вследствие сообщения ему заряда .

Если проводнику дополнительно сообщить заряд еще одну порцию заряда , то он распределится по поверхности таким же образом как первая порция. Соответственно во всех точках пространства напряженность электрического поля увеличится вдвое. Так же возрастет работа , а значит и потенциал проводника. Таким образом, оказывается, что заряд, сообщенный проводнику, и приобретаемый им потенциал пропорциональны . Поэтому можно записать соотношение:

Коэффициент пропорциональности С в соотношении (16.3) характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электроемкостью уединенного проводника. Этот параметр проводника измеряется в фарадах . Электроемкостью в 1 фарад обладает проводник, который при сообщении заряда в 1 кулон приобретает потенциал 1 вольт .

Рассчитаем емкость уединенного сферического проводника, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью . Напряженность поля заряженной сферы вне ее пределов описывается выражением, аналогичным выражению для напряженности поля точечного заряда, расположенного в центре сферы. Поэтому выражение для работы по перемещению малого точечного заряда с поверхности сферы радиуса , имеющей заряд , на бесконечность имеет вид:

Поэтому электроемкость уединенной сферы определяется выражением:

Подставив в (16.6) радиус Земли , получим электроемкость Земли, которая составляет приблизительно 700 мкФ.

Конденсаторы

Уединенные проводники имеют небольшую емкость. Однако в технике используются устройства, обладающие электроемкостью до нескольких фарад. Такими устройствами являются конденсаторы . В основе принципа устройства конденсаторов положен тот факт, что при приближении к уединенному заряженному проводнику другого (даже незаряженного) проводника электроемкость системы значительно возрастает. В поле уединенного проводника на приближающемся теле возникают индуцированные заряды, причем заряды знака, противоположного сообщенному уединенному проводнику, располагаются к нему ближе и сильней влияют на его поле. Потенциал проводника по модулю уменьшается, а заряд сохраняется. Это означает, что его электроемкость растет .

Удаленные части приближающегося проводника можно соединить с Землей (заземлить), чтобы индуцированный заряд того же знака, что сообщенный уединенному проводнику, распределился по поверхности Земли и не оказывал влияния на потенциал системы. Очевидно, что, максимально приблизив противоположно заряженные проводники, можно достичь заметного увеличения электроемкости. Соответственно конденсаторы изготавливают плоскими , когда противоположно заряженные проводники (обкладки конденсатора ) в виде, например, полосок фольги, разделяют тонким слоем диэлектрика. В этом случае электрическое поле системы оказывается сосредоточенным в пространстве между обкладками, и внешние тела не оказывают влияния на емкость конденсатора. Можно представить также обкладки в виде концентрических цилиндров или сфер.

Электроемкостью конденсатора , по определению, называется величина отношения заряда каждой из обкладок к разности потенциалов между ними:

Диэлектрическая проницаемость материала между обкладками конденсатора.